1+2+...+(a-1) = (a+1)+(a+2)+...+b
==> a(a-1)    = (a+1+b)(b-a)  //等差数列求和
==> a^2 - a   = b^2-a^2 +b-a
==> 2*a^2     = b^2+b
==> 8*a^2     = 4*b^2 +4*b +1-1
==> 2*(2*a)^2 = (2*b+1) -1
==> (2*b+1)^2 - 2*(2*a)^2 = 1

令  x = 2*b+1, y= 2*a
则  x^2 - 2*y^2 = 1 *（1）

设 (x1,y1) (x2,y2) 是方程的解
则有 x1^2 - 2*y1^2 = 1   (2)
     x2^2 - 2*y2^2 = 1   (3)

(2)*(3) ==>  (x1^2 - 2*y1^2)*(x2^2 - 2*y2^2) =1
        ==>  x1^2*x2^2 - (2*x1^2*y2^2+2*y1^2*x2^2) + 4*y1^2*y2^2 = 1
        ==>  (x1*x2)^2+(2*y1*y2)^2+4*x1*x2*y1*y2
            - (2*x1^2*y2^2+2*y1^2*x2^2 + 4*x1*x2*y1*y2) = 1
       ==> (x1*x2+2*y1*y2)^2 - 2*( x1*y2+x2*y1)^2 = 1  (4)
令 p = x1*x2+2*y1*y2
   q = x1*y2+x2*y1
则 （4） ==> p^2 -2*q^2 = 1 所以 （p,q)也是方程 1的解

ps： 在（2）*(3)的推导中，辅助项“+4*x1*x2*y1*y2” 可以是减号
     则 p = abs( x1*x2 - 2*y1*y2 )
       q = abs( x1*y2 - x2*y1)

则由题目中的 a1=6, b1=8 ==> x1 = 17, y1=12
           a2=35, b2=49 ==> x2 = 99, y2=70  
        ==> p = abs(17*99-2*12*70) = abs(1683-1680) = 3 = 2*b+1 ==> b=1
            q = abs(17*70-12*99)   = abs(1190-1188) = 2 = 2*a ====> a=1
得到的 (a,b) = (1,1)是最小对

应用辅助项“+4*x1*x2*y1*y2”（加号）可以
由 （1，1）和（a1,b1)=(6,8)       推出（a2,b2) = (35, 49)
由 （1，1）和（a2,b2)=(35, 49)    推出（a3,b3) = (204, 288)
由 （1，1）和（a3,b3)=(204,288)   推出（a4,b4) = ...
.......................

• 学习 学习 (1384) hansechang 2008-05-22 22:30:02
• 这样推的解是连续按last number排序的么？ (0) zfy0701 2008-09-26 23:04:01