P=2(n-1)!

定义一个环：
              1  2
          n      3
        n-1       4
            ... 5

在这个环上，每个位子上的箱子存放打开下一个箱子的钥匙，1中开2，2中开3，...，n中开1。

     则此题分两种情况讨论：

1 ，A1和A2一起组成一个规模为n的大环。
    即1中开2，2中开3，...，x中开A1，A1中开x+1，...，y中开A2，A2中开y+1，...，n中开1
    则有A(2,n)=n(n-1)种放法将A1和A2放入上图的环中，再由于圆环中不存在绝对位置，是个圆排列，还要除以n，n(n-1)/n=n-1,剩下的n-2个位置则按照环的定义有(n-2)!种放法。
      
       故P1=(n-1)*(n-2)!=(n-1)! 

2 ，A1和A2分别形成两个独立的小环，其规模分别为x,y. 则 x+y=n && x,y>=1
    当x=1时，即为A1中存放打开A1的钥匙。
    对于有A1的小环，只要确定该环中最后一个箱子存放打开A1的钥匙
    同理于有A2的小环。
    剩下的n-2个位置则按照环的定义放入箱子，有(n-2)!种放法。
    方程 x+y=n && x,y>=1 的解的组数为n-1
 
       故P2=(n-1)*(n-2)!=(n-1)!

     所以总方案数 P=(n-1)!+(n-1)!=2(n-1)!

• Re:一种证明方法！ (2) ecust_linpeng 2009-10-16 09:32:00
• 牛X (737) Pzjay 2009-11-26 22:15:19