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Re:这题的公式怎么推出来的?

Posted by yzmor at 2017-06-12 17:18:59 on Problem 1067
In Reply To:Re:这题的公式怎么推出来的? Posted by:soar1120 at 2006-05-21 13:00:54
> 我们用(ak,bk)(ak ≤ bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,
> 如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。
> 前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。
> 可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k,奇异局势有
> 如下三条性质:
> 
> 1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
> 由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
> 2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
> 事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
> 3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
> 
> 假设面对的局势是(a,b),
> 若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);
> 如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物体,即变为奇异局势;
> 如果 a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);
> 如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;
> 如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,
> 第一种,a=aj (j < k),从第二堆里面拿走 b - bj 即可;
> 第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走 b - aj 即可。
> 
> 从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。
> 
> 那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?
> 我们有如下公式:
> ak =[k(1+√5)/2],bk= ak + k (k=0,1,2,...,n 方括号表示取整函数)
> 奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2 = 1。618...,
> 因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,
> 由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],
> 若a=[j(1+√5)/2],那么a = aj,bj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1,bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。
> 然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

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