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北京大学《ACM/ICPC大学生程序设计竞赛训练》暑期课面向全球招生!

解题报告。。。。。。。。。

Posted by jince at 2009-09-09 20:43:49 on Problem 1091
一份解题报告:
跳蚤
题目大意是给定两个整数n和m,求出长度为n+1满足条件的数列data的个数,数列的要求下:
1)1<=data[i]<=m,for1<=i<=n
2)data[n+1]=m;
3)这个n+1个数满足:存在x1,x2,...,xn,xn+1,满足x1*data[1]+x2*data[2]+...+x(n+1)*data[n+1]=1;
根据数论的知识,若存在这样的x1,x2...xn+1,则data[1],data[2]...data[n+1]的最大公约数为1

证明:若data[1],data[2]...data[n+1]满足题意,并且存在最大公约数d(为整数);则x1*data[1]+x2*data[2]+...+x(n+1)*data[n+1]的和是d的整数倍,必不等于1

我看到这里的时候还是不明白,这有什么用。。。

其实举个例子就明白了,例如:n=2,m=360 
360=3^2*2^3*5  所有不满足条件的数列,最大公约数是360质因子的乘积,只要将这些组合去掉,就是要求的答案

具体解题步骤如下:
1、求出满m的所有质因子,存入数组num
2、求出总的序列个数吗m^n
3、设t(k)表示数列最大公约数为(k个质因子乘积)的数列的个数

f=m^n-t(1)+t(2)-t(3)+..(-1)^k*t(k);
答案 = (m ^ n) - (有公因数2的n元组)- (有公因数3的n元组)- (有公因数5的n元组)+ (有公因数2,3的n元组) +(有公因数2,5的n元组) + (有公因数3,5的n元组)- (有公因数2,3,5的n元组)。这个比公式形象些
有公因数d的n元组,每个位置上有 (m/d)个选择(1 ~ m里面有m/d个d的倍数),根据乘法原理,可以得出有公因数d的n元组有 (m/d)^n 个。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>

using namespace std;
__int64 n,m,per,total;
__int64 s[130000],num[130000];

void totalnum(__int64 x) //求质因子
{
	__int64 i,j;
	total=0;
	for(i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			while(x%i==0)
				x=x/i;
			num[total]=i;
			total++;
		}
	}
	if(x!=1)
	{
		num[total]=x;
		total++;
	}
}
__int64 por(__int64 x,__int64 y)//x^y
{
	__int64 i,k;
	k=x;
	for(i=1;i<y;i++)
		x=k*x;
	return x;
}
void get(__int64 a,__int64 b,__int64 c)//c:公共质因子个数;
{
	__int64 i;
	if(b==c)
	{
		__int64 t=m;
		for(i=0;i<c;i++)
		{
			t=t/s[i];
		}
		per+=por(t,n);
	}
	else
	{
		for(i=a;i<total;i++)
		{
			s[b]=num[i];
			get(i+1,b+1,c);
		}
	}
}



int main()
{
	__int64 res,i;
	while(scanf("%I64d %I64d",&n,&m)!=EOF)
	{
		totalnum(m);
		res=por(m,n);
		for(i=0;i<total;i++)
		{
			per=0;
			get(0,0,i+1);
			if(i%2==0)
			{
				res-=per;
			}
			else
			{
				res+=per;
			}
		}
		printf("%I64d\n",res);
	}
	return 0;
}

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