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总算查到了,方便后来人!欧拉函数phi(m):当m>1是,phi(m)表示比m小且与m互质的正整数个数

Posted by majiaN at 2008-10-24 18:11:27 on Problem 3696
In Reply To:弱问,phi()是黄金分割吗?还有为什么求同余方程变成了求因子了呢? Posted by:majiaN at 2008-10-24 17:58:56
欧拉函数phi(m):当m>1是,phi(m)表示比m小且与m互质的正整数个数
1、费马定理:a的p-1次方mod p余1。(其中p是素数,a是不能被p整除的正整数。
2、欧拉定理
    2.1 欧拉函数(RSA的证明用到)
          定义:欧拉函数phi(m):当m>1是,phi(m)表示比m小且与m互质的正整数个数
               如:phi(24)=8    (1,5,7,11,13,17,19,23)
          性质:(1)当m为素数时,phi(m)=m-1
               (2)当m=pq,且p和q是互异的素数,
                     则有:phi(m)=phi(p)*phi(p)=(p-1)(q-1) (这很好用)
               (3)m=p^e,且p为素数,e为正整数,则
                    phi(m)=p^e-p^(e-1)=(p^(e-1))*(p-1) 
          定理:若m=p1^e1*p2^e2....pt^et则:
                phi(m)=m(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pt) (pi是素数)
     2.2 欧拉定理
            a^phi(n)=1 mod n
          注:[1]n=p时候,有a^(p-1)=1 mod p,为费马定理
             [2]a^(phi(n)+1)=a mod n
             [3]若n=pq,p与q为相异素数,取大于0的m,n互质数,有
                m^(phi(n)+1)=m mod n; m^((p-1)(q-1)+1)=m mod n

    本原元概念:
            先是阶的概念:模19下7的阶为3(7^1=7 mod 19,7^2=11 mod 19,
                       7^3=1 mod 19,7^4=7 mod 19....)
            本原元的概念:模n下a的阶m=phi(n),a就是n的本原元,如3是19的本原元
            本原元并不唯一(19本原元还有2,3,10,13,14,15)
            不是所有的整数都有本原元,应是这样的形式:2,3,p^a,2p^a(p为奇素数)


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